![]() ![]() Tangentensteigung Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P ( x 0| f (x 0) ) ist gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt. Nachfolgend soll nun die Gleichung einer solchen Tangente bestimmt werden. ![]() Entdecken Sie exklusive NOMOS Glashütte Tangente Uhren| kostenlose Beratung ★ 21 Tage Rückversand ★ Top Preise ★ kostenloser Versand. Mathematik-Wissen verständlich erklärt. Hier findest Du Erklärung und Beispielaufgaben zu Tangente. Dazu betrachten wir die Funktion f(x) und deren Ableitungsfunktion etwas genauer. Sowohl für die Funktion, wie auch für deren Ableitungsfunktion wird eine Wertetabelle aufgestellt: Aus der Wertetabelle kann der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x) abgelesen werden: Das bedeutet, im Scheitelpunkt S ist die Steigung von f(x) Null. Die Tangente in S hat ebenfalls die Steigung Null, sie verläuft dort waagerecht. Die Graphen: Merke: Einsetzen eines x- Wertes in f(x) ergibt die y- Koordinate von P ( x| y ). Einsetzen eines x- Wertes in f'(x) ergibt die Steigung des Graphen oder die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P ( x| y ). Tangentengleichung, Normalengleichung Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente an einen Graphen durch deren Berührungspunkt verläuft. Gegeben ist die Funktion Die Gleichung für Tangente und Normale sollen an der Stelle x 0 = 2, also für den Punkt P ( 2| f(2) ) bestimmt werden. Vorüberlegung: Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung: Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade: Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt P. Vorgehensweise: Der Wert für x 0 wird in den Funktionsterm von f(x) eingesetzt. Damit erhält man die fehlende Koordinate von P. Die Funktion f(x) wird abgeleitet. Der Wert für x 0 wird in den Ableitungsterm f'(x) eingesetzt. Da f'(x) die Steigungsfunktion von f(x) ist, erhält man somit die Steigung m t der Tangente in P. Die Steigung m t und die Koordinaten des Punktes P werden nun in die Tangentengleichung eingesetzt. Damit erhält man den Ordinatenabschnitt b t der Tangente und die Tangentengleichung ist fertig. Um die Gleichung der Normalen zu erhalten, verfährt man analog, verwendet für deren Steigung jedoch den negativ reziproken Tangentensteigungswert. Nachfolgende Rechnung soll das verdeutlichen. Rechnung: Die Methode zur Berechnung der Tangente ist vergleichbar mit der, eine Geradengleichung aufzustellen, von der man die Steigung und den Punkt P kennt, durch den sie verläuft. Graphen: Allgemeine Herleitung der Tangenten – und Normalengleichung Damit man nicht in jedem einzelnen Fall obige Rechnung erneut durchführen muss, leiten wir nun eine allgemeine Formel her. Die Tangente soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x 0| f(x 0) ) berühren. Die Normale soll den Graphen von f(x) im Punkt P (x 0| f(x 0) ) senkrecht schneiden. Herleitung: Anwendungsbeispiel: Eine Leiter soll so an einen Heuhaufen gelehnt werden, dass sie den Haufen in einer Höhe von 3 m vom Boden aus berührt. Der Heuhaufen hat die Form einer umgestülpten Parabel, ist 4 m hoch und hat an der Basis einen Durchmesser von ebenfalls 4 m. Unter welchem Winkel muss die Leiter angelegt werden? Wie weit vom Fuß des Heuhaufens muss die Leiter auf dem Boden aufgesetzt werden? Wir legen die y – Achse durch den Scheitelpunkt des Graphen. Die Parabel hat die Funktionsgleichung: Rechnung: Der Abstand vom Heuhaufen, wo die Leiter aufgesetzt werden muss, ist der Abstand zwischen der Nullstelle von f(x) und der Nullstelle von t(x). ![]() ![]() Tangente GöttingenNullstellen: Die Leiter muss 0,5 m vom Fuß des Heuhaufens entfernt auf den Boden aufgesetzt werden. Aus dieser Aufgabenstellung haben wir gelernt, wie man die Gleichung einer Tangente bestimmt, die den Graphen in einem definierten Punkt berührt. Beispiel: Die Gleichung der Tangente soll ermittelt werden, die den Graphen von f(x) im Punkt P berührt. Zusammenfassung: Wie geht man vor, wenn die Formel angewendet wird? Die Koordinate x 0 wird als bekannt vorausgesetzt. Koordinate von P erhält man durch einsetzen von x 0 in den Term von f(x).
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March 2019
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